题目名称 4055. [CSP 2024 S]染色
输入输出 color.in/out
难度等级 ★★★
时间限制 1000 ms (1 s)
内存限制 512 MiB
测试数据 20
题目来源 Gravatarsyzhaoss 于2024-10-27加入
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NOIP/CSP 动态规划 线性DP
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通过:1, 提交:10, 通过率:10%
Gravatar梦那边的美好ET 100 2.105 s 15.52 MiB C++
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4055. [CSP 2024 S]染色

★★★   输入文件:color.in   输出文件:color.out   简单对比
时间限制:1 s   内存限制:512 MiB

【题目描述】

给定一个长度为 $n$ 的正整数数组 $A$,其中所有数从左至右排成一排。

你需要将 $A$ 中的每个数染成红色或蓝色之一,然后按如下方式计算最终得分:

设 $C$ 为长度为 $n$ 的整数数组,对于 $A$ 中的每个数 $A_i$($1 \leq i \leq n$):

如果 $A_i$ 左侧没有与其同色的数,则令 $C_i = 0$。

否则,记其左侧与其最靠近的同色数为 $A_j$,若 $A_i = A_j$,则令 $C_i = A_i$,否则令 $C_i = 0$。

你的最终得分为 $C$ 中所有整数的和,即 $\sum \limits_{i=1}^n C_i$。你需要最大化最终得分,请求出最终得分的最大值。

【输入格式】

本题有多组测试数据

输入的第一行包含一个正整数 $T$,表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据,每组数据的格式如下:

第一行包含一个正整数 $n$,表示数组长度。

第二行包含 $n$ 个正整数 $A_1, A_2, \dots, A_n$,表示数组 $A$ 中的元素。

【输出格式】

对于每组数据:输出一行包含一个非负整数,表示最终得分的最大可能值。

【样例1输入】

3
3
1 2 1
4
1 2 3 4
8
3 5 2 5 1 2 1 4

【样例1输出】

1
0
8

【样例1说明】

对于第一组数据,以下为三种可能的染色方案:

1. 将 $A_1, A_2$ 染成红色,将 $A_3$ 染成蓝色(1 2 1),其得分计算方式如下:

对于 $A_1$,由于其左侧没有红色的数,所以 $C_1 = 0$。

对于 $A_2$,其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1 \neq A_2$,所以 $C_2 = 0$。

对于 $A_3$,由于其左侧没有蓝色的数,所以 $C_3 = 0$。    

该方案最终得分为 $C_1 + C_2 + C_3 = 0$。

2. 将 $A_1, A_2, A_3$ 全部染成红色(1 2 1),其得分计算方式如下:

对于 $A_1$,由于其左侧没有红色的数,所以 $C_1 = 0$。

对于 $A_2$,其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1 \neq A_2$,所以 $C_2 = 0$。

对于 $A_3$,其左侧与其最靠近的红色数为 $A_2$。由于 $A_2 \neq A_3$,所以 $C_3 = 0$。    

该方案最终得分为 $C_1 + C_2 + C_3 = 0$。

3. 将 $A_1, A_3$ 染成红色,将 $A_2$ 染成蓝色(1 2 1),其得分计算方式如下:

对于 $A_1$,由于其左侧没有红色的数,所以 $C_1 = 0$。

对于 $A_2$,由于其左侧没有蓝色的数,所以 $C_2 = 0$。

对于 $A_3$,其左侧与其最靠近的红色数为 $A_1$。由于 $A_1 = A_3$,所以 $C_3 = A_3 = 1$。    

该方案最终得分为 $C_1 + C_2 + C_3 = 1$。

可以证明,没有染色方案使得最终得分大于 $1$。

对于第二组数据,可以证明,任何染色方案的最终得分都是 $0$。

对于第三组数据,一种最优的染色方案为将 $A_1, A_2, A_4, A_5, A_7$ 染为红色,将 $A_3, A_6, A_8$ 染为蓝色(3 5 1 5 2 1 2 4),其对应 $C = [0, 0, 0, 5, 0, 1, 2, 0]$,最终得分为 $8$。

【样例2】

见选手目录下的 color/color2.in 与 color/color2.ans。

样例下载

【数据规模与约定】

对于所有测试数据,保证:$1\leq T\leq 10$,$2\leq n\leq 2\times 10^5$,$1\leq A_i\leq 10^6$。