3661. [统一省选 2022]填树

【题目描述】

有一棵 $n$ 个节点的无根树，刚开始树上每个节点的权值均为 0。KK 想对这棵树进行一些修改，他会任选一个节点作为初始的当前节点，然后重复以下动作：

1. 将当前节点 $i$ 的权值修改为一个正整数 $x$，需满足 $l_i\leq x\leq r_i$。其中 $l_i,r_i$ 是输入中给出的两个正整数。
2. 结束修改过程，或移动到一个与当前节点相邻的权值为 0 的节点(如果不存在这样的节点，则必须结束修改过程)。

现在 KK 有两个问题：

1. 在修改结束后，可以得到多少棵不同的树，满足树上非零权值的最大值和最小值的差小于等于 $K$？其中 $K$ 是输入中给出的一个正整数。
2. 这些满足条件的树的权值之和为多少？(树的权值定义为这棵树上所有节点的权值之和)

你需要输出这两个问题的答案模 $10^9+7$。我们认为两棵树不同当且仅当至少存在一个节点的权值不同。

温馨提示：

1. KK 至少会修改一个节点(初始节点)。
2. 实质上 KK 会修改树上的任意一条路径，最后需要满足这条路径上的点的权值最大值和最小值之差小于等于 $K$。

【输入格式】

第一行两个正整数 $n, K$，表示节点数和权值差的最大值。

接下来 $n$ 行，每行两个正整数 $l_i,r_i$，表示第 $i$ 个节点修改后权值的最小值和最大值。

接下来 $n-1$ 行，每行两个正整数 $u_i,v_i$，表示节点 $u_i$ 和 $v_i$ 之间有一条边。数据保证形成一棵树。

【输出格式】

输出两行，每行一个整数，分别表示第一问和第二问的答案模 $10^9+7$ 的值。注意，如果你不打算回答第二问，请在第二行任意输出一个整数。如果输出文件只有一行，则会因格式不符合要求被判 0 分。

【样例输入】

3 1
2 3
3 5
4 6
1 2
1 3

【样例输出】

14
78

样例数据下载

【样例说明】

表格中列出了全部 14 棵满足条件的树，将这些树的权值加起来为 78。

【数据规模与约定】

对于100%的数据，$1\leq n\leq 200,1\leq l_i\leq r_i\leq 10^9,1\leq K\leq 10^9$。

特殊限制 A：所有点构成一条链, 编号为 $i$ 的点和编号为 $i+1$ 的点之间有连边

【评分标准】

本题共 10 个测试点，每个测试点 10 分。其中回答正确第一问可得 7 分，回答正确第二问可得 3 分。

【来源】

2022 统一省选 Day1 Task2