3955. [NOIP 2023]双序列拓展

【题目描述】

称某个序列 $B = \{b_1,b_2,\cdots,b_n\}$ 是另一个序列 $A = \{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$ 的拓展当且仅当存在正整数序列 $L = \{l_1,l_2,\cdots,l_m\}$，将 $a_i$ 替换为 $l_i$ 个 $a_i$ 后得到序列 $B$。例如，

- $\{1,3,3,3,2,2,2\}$ 是 $\{1,3,3,2\}$ 的拓展，取 $L = \{1,1,2,3\}$ 或 $\{1,2,1,3\}$；

- 而 $\{1,3,3,2\}$ 不是 $\{1,3,3,3,2\}$ 的拓展，$\{1,2,3\}$ 不是 $\{1,3,2\}$ 的拓展。

小 R 给了你两个序列 $X$ 和 $Y$，他希望你找到 $X$ 的一个长度为 $l_0 = 10^{100}$ 的拓展 $F = \{f_i\}$ 以及 $Y$ 的一个长度为 $l_0$ 的拓展 $G = \{g_i\}$，使得任意 $1 \le i , j \le l_0$ 都有 $(f_i - g_i)(f_j - g_j) > 0$。由于序列太长，你只需要告诉小 R 是否存在这样的两个序列即可。

为了避免你扔硬币蒙混过关，小 R 还给了 $q$ 次额外询问，每次额外询问中小 R 会修改 $X$ 和 $Y$ 中若干元素的值。你需要对每次得到的新的 $X$ 和 $Y$ 都进行上述的判断。

询问之间是独立的，每次询问中涉及的修改均在原始序列上完成。

【输入格式】

输入的第一行包含四个整数 $c, n, m, q$，分别表示测试点编号、序列 $X$ 的长度、序列 $Y$ 的长度和额外询问的个数。对于样例，$c$ 表示该样例与测试点 $c$ 拥有相同的限制条件。

输入的第二行包含 $n$ 个整数 $x_1,x_2,\cdots, x_n$，描述序列 $X$。

输入的第三行包含 $m$ 个整数 $y_1,y_2,\cdots, y_m$，描述序列 $Y$。

接下来依次描述 $q$ 组额外询问。对于每组额外询问：

- 输入的第一行包含两个整数 $k_x$ 和 $k_y$，分别表示对序列 $X$ 和 $Y$ 产生的修改个数。

- 接下来 $k_x$ 行每行包含两个整数 $p_x, v_x$，表示将 $x_{p_x}$ 修改为 $v_x$。

- 接下来 $k_y$ 行每行包含两个整数 $p_y, v_y$，表示将 $y_{p_y}$ 修改为 $v_y$。

【输出格式】

输出一行，其中包含一个长度为 $(q+1)$ 的 `01` 序列，序列的第一个元素表示初始询问的答案，之后 $q$ 个元素依次表示每组额外询问的答案。对于每个询问，如果存在满足题目条件的序列 $F$ 和 $G$，输出 10。

【样例输入】

3 3 3 3
8 6 9
1 7 4
1 0
3 0
0 2
1 8
3 5
1 1
2 8
1 7

【样例输出】

1001

【样例说明】

由于 $F$ 和 $G$ 太长，用省略号表示重复最后一个元素直到序列长度为 $l_0$。如 $\{1,2,3,3,\cdots\}$ 表示序列从第三个元素之后都是 $3$。

以下依次描述四次询问，其中第一次询问为初始询问，之后的三次为额外询问：

1. $A = \{8,6,9\}$，$B = \{1,7,4\}$，取 $F = \{8,8,6,9,\cdots\}, G = \{1,7,4,4,\cdots\}$；

2. $A = \{8,6,0\}$，$B = \{1,7,4\}$，可以证明不存在满足要求的方案；

3. $A = \{8,6,9\}$，$B = \{8,7,5\}$，可以证明不存在满足要求的方案；

4. $A = \{8,8,9\}$，$B = \{7,7,4\}$，取 $F = \{8,8,9,\cdots\}, G = \{7,7,4,\cdots\}$。

【数据规模与约定】

- $1 \le n, m \le 5 \times 10 ^ 5$；

- $0 \le q \le 60$；

- $0 \le x_i, y_i < 10 ^ 9$；

- $0 \le k_x, k_y \le 5 \times 10 ^ 5$，且所有额外询问的 $(k_x+k_y)$ 的和不超过 $5 \times 10 ^ 5$；

- $1 \le p_x \le n$，$1 \le p_y \le m$，$0 \le v_x, v_y < 10 ^ 9$；

- 对于每组额外询问，$p_x$ 两两不同，$p_y$ 两两不同。

特殊性质：对于每组询问（包括初始询问和额外询问），保证 $x_1 < y_1$，且 $x_n$ 是序列 $X$ 唯一的一个最小值，$y_m$ 是序列 $Y$ 唯一的一个最大值。

【来源】

NOIP 2023 Task3