3852. [春季测试 2023]密码锁

【题目描述】

寒假过后，小 I 回到学校，发现自己忘记了自行车锁的密码，于是请你帮忙。

小 I 自行车上的密码锁有 $n$ 个拨圈，每个拨圈有 $k$（$k \leq 4$）格。密码锁上的每一格都包含一个正整数，其中第 $j$ 个拨圈的第 $i$ 格上的正整数为 $a _ {i, j}$。

（一个锁的例子，其中 $k = n = 3$，每列表示一个拨圈，拨圈的格子从上往下编号。）

你可以对每个拨圈拨若干次（也可以不拨），每拨一次拨圈，它的格子就会进行一次轮换。形式化地，拨第 $j$ 个拨圈一次，则会让第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格的数字移动到第 $((i \bmod k) + 1)$ 格，其他拨圈不动。

（一个拨动拨圈的例子，对左侧的锁拨一次第二个拨圈得到右侧的锁。）

为了方便记忆，小 I 设定密码时要求同一行上的数字尽可能靠近。

形式化地，对于 $1 \leq i \leq k$，定义密码锁第 $i$ 行的松散度为$$c(i) = \max \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j} - \min \limits _ {j = 1} ^ n a _ {i, j}$$

同时定义整个密码锁的松散度为$$C = \max \limits _ {1 \leq i \leq k} c(i)$$

因为能开锁的状态满足 $C$ 尽可能小，因此小 I 希望你找出最小的 $C$ 值。

【输入格式】

本题有多组测试数据，题目保证一个测试点中所有测试数据的 $k$ 相同。

第一行包含两个正整数 $T, k$，分别表示测试数据组数和密码锁拨圈上的格数。

接下来一共 $T$ 组数据，每组数据格式如下：

第一行包含一个正整数 $n$，表示拨圈数。

接下来 $k$ 行，每行包含 $n$ 个正整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数 $a _ {i,j}$ 表示密码锁第 $j$ 个拨圈上第 $i$ 格对应的数字。

注意输入的矩阵中每一列对应一个拨圈，而非每一行对应一个拨圈。

【输出格式】

对于每组数据，输出一行包含一个整数，表示所有方案中 $C$ 的最小值。

【样例1输入】

2 3
3
1 2 1
2 3 2
3 1 3
2
1 2
2 1
1 2

【样例1输出】

0
1

【样例1说明】

第一组样例对应题目描述中的例子。

在拨第二个拨圈一次后，每个拨圈都是 $\{1, 2, 3\}$，此时松散度为 $0$。

容易证明无论如何松散度都不可能小于 $0$，因此输出 $0$。

以下四个样例分别对应 $k = 1, 2, 3, 4$ 的情况，且样例中 $n$ 的取值有一定梯度。

【样例2/3/4/5下载】

样例下载

【数据规模与约定】

设 $\sum n$ 为一个测试点中所有测试数据的 $n$ 的和。

对于所有数据，保证 $1 \leq T$，$1 \leq k \leq 4$，$1 \leq a _ {i ,j} \leq  3 \times 10 ^ 4$。

本题分为两类测试点。

第一类测试点共有十二个，保证 $k \leq 3$，$n \leq 5 \times 10 ^ 4$，$\sum n \leq 1.5 \times 10 ^ 5$。

第二类测试点共有八个，保证 $k = 4$，$n \leq 10 ^ 4$，$\sum n \leq 3 \times 10 ^ 4$。

你花了九牛二虎之力算出 $C$ 的值之后，小 I 却告诉你他已经找开锁师傅用锤子暴力破解了。在你的百般劝说下，小 I 承诺以后锁车不用有大于等于一万个拨圈的密码锁。

【来源】

NOI 2023 春季测试 Task4