3469. [NOI 2020]超现实树

【题目背景】

下课铃声响起，机房里的两位女生从座位上站起来。（下面用 X1, X2 代指两人）

X2：省选前的集训真难熬啊…… 听课、考试、讲评、补题 —— 对于现在的我来说，即使在梦里想到一道数据结构题，也会不由自主地开始思考吧。

X1：重复训练对我来说似乎并不是什么负担，但我确实感觉到解决题目带来的愉悦感在最近逐渐减弱了。也许我们需要一些精神上的 “刺激”：一些不拘泥于繁复技术的智力游戏，来让我们找回对于数学和算法的兴趣。

X2：咦，我好像收到了一封用英文写的短信，似乎是…… 数学书上的一些片段。

【题目描述】

X1 ：我来翻译一下短信的内容。

  定义：本文所述的树是归纳定义的：单独的结点构成一棵树，以一棵树作为左（或右）孩子可以构成一棵树，以两棵树分别作为左、右孩子也可以构成一棵树。仅由以上规则用有限步生成的所有结构被称为树。

X2：也就是说，这里所说的树是指非空、有根、区分左右孩子的二叉树。

X1：的确如此。接下来书上定义了两棵树的同构。

定义：称两棵树 T, T′ 同构，记做 T≡T′，由以下四条规则定义：

   由单独结点构成的树是彼此同构的；

   如果两棵树的根结点均只有左子树，并且它们的左子树同构，那么这两棵树是同构的；

   如果两棵树的根结点均只有右子树，并且它们的右子树同构，那么这两棵树是同构的；

   如果两棵树的根结点均有左、右子树，并且它们的左、右子树分别对应同构，那么这两棵树是同构的。

很明显，同构关系构成了所有树上的一个等价关系。为了方便，我们将同构的树看作相同的树。

X2：将同构的树看成相同的树就是说树的结点是彼此相同的。简单地说，两棵树同构当且仅当他们在结点无标号、区分左右孩子的意义下相同；我们说两棵树不同，当且

仅当它们不同构。

X1：书里还定义了树的叶子：和通常的定义一样，叶子指没有任何孩子的结点。

X2：这和我们熟悉的定义完全一致。嘛，数学家真是有点啰嗦…… 恐怕只有 X3 那种家伙会喜欢这种做派吧。

X1：我倒是对此不太反感 —— 比起基于经验的 “直觉”，准确的定义和严谨的证明还是更加让人安心。你看，下一个定义就没有那么直观了。

定义：称一棵树 T 单步替换成为 T′，如果将 T 的某一叶子结点替换为另一棵树 T$''$ 得到的树与 T′ 同构，记做 T→T′；称一棵树 T 替换成为 T′，记做 T→${}^*$T′，如果存在自然数 n≥1 和树 T1,T2,…,Tn，使得 T≡T1→T2→⋯→Tn≡T′。

X2：我来想想…… 所谓替换，就是删掉某个叶子结点并在对应的位置放入另一棵树，就像那个叶子结点 “长出了” 一个更大的子树一样；一棵树替换成为另一棵树，说明它可以经由零次、一次或多次单步替换得到那棵树。哦…… 我明白了！举例来说，任何一棵树都可以替换成它本身，换言之对于树 T，都有 T→${}^*$T。下面这个图片可以帮助理解单步替换和替换的含义。

X1 ：你说得对。特别地，任何一棵树都可以替换得到无穷多棵不同的树，并且仅有一个结点构成的树可以替换得到任意其他的树。书上也有定义这样的东西。

定义：对于一棵树 T，定义 grow(T) 表示 T 所能替换构成的树的集合，即 grow(T)={T′∣T→${}^*$T′}。更近一步，如果 P={T1,T2,…,Tn} 是一个树的有限集合，定义 grow(P) 为所有 grow(Ti) 的并集，其中 i=1,2,…,n。即

$$grow(P)=\bigcup_{Ti\in P}grow(Ti)$$

X2：我们把 grow(P) 称作树的集合P所生长得到的集合吧 —— 也就是说，树的集合P所生长得到的集合包含所有可以被某个 T∈P替换得到的树。不妨把树的集合叫做树林。不太严谨地说，一个树林所生长得到的新树林就是其中所有树、以所有可能的方式生长得到的树林。显而易见，一个非空树林所生长得到的树林都是无穷树林。但这个无穷树林，或者说 grow(P)，并不一定包含所有的树 —— 更进一步，它甚至不一定包含 “几乎所有” 的树。

X1：让我来补充一下：我们称一个树林是几乎完备的（或称几乎包含了所有的树），如果仅有有限多的树不在其中。对于一个有限树林P，grow(P) 要么包含了所有的树，要么包含了几乎所有的树，要么存在无穷多棵树不在其中。如果这是一道 OI 题，出题人一定会在样例中给出三种情况的例子吧。书上的关键定理也用了和我们相同的定义。

定理（几乎完备的可判定性）：一个树的集合是几乎完备的，如果仅有有限棵树不在其中。那么，对于一个给定的树的有限集合P，存在高效的算法判定 grow(P) 是否是几乎完备的。

X2：这个问题变成一个纯粹的 OI 题目了！让我用我们的语言来重述一下题意：给定一个有限大小的树林P，判定 grow(P) 是否是几乎完备的，即是否仅有有限棵树不能被树林中所包含的树生长得到。

X1：也就是说，给定一个有限的树的集合P，判定是否仅有有限个树 T，满足 T∉grow(P)。所谓 T∉grow(P)，就是说不存在 T′∈P，使得 T′→${}^*$T。这和通常的 OI 题目的确非常不同：我甚至没有想到这个问题的一个算法。

X2：我也一样，不过我很久没有感受到这种解决未知问题的冲动了。

【输入格式】

本题有多组测试数据，输入文件的第一行包含一个正整数 N，表示测试数据的组数。接下来包含恰好 N 组测试数据，每组测试数据具有以下的格式：

第一行是一个正整数 m，表示树的集合中树的个数。接下来按照以下格式输入 m 棵树：

   首先是一个正整数 n，表示树中的结点个数，结点编号为 1,2,…,n；

   接下来 n 行每行两个非负整数，其中第 i 行从左到右包含用空格隔开的 li 和 ri，分别表示 i 号结点左、右孩子结点的编号。如果左（或右）孩子不存在，那么 li（或 ri）为 0。当然，叶结点一定满足 li=ri=0。

   输入数据保证构成一棵以 1 号结点作为根结点的树。请注意：结点的编号只是为了方便输入，任何同构的树都被视为是相同的。

所输入的 m 棵树中可能存在彼此同构的树；如果去除这些重复的树（即每种同构的树只留下一个），它们可以构成一个树的集合P。你需要判定这一树的集合所生长得到的集合 grow(P) 是否是几乎完备的。

【输出格式】

输出包含 N 行，分别表示 N 组测试数据的答案。其中，第 i 行输出一个字符串：如果第 i 组测试数据所输入的树的集合所生长得到的集合是几乎完备的（换言之，仅有有限棵树不能被其生长得到），那么输出 Almost Complete；否则输出 No。请注意输出字符串的拼写和大小写。

【样例输入1】

1
1
1
0 0

【样例输出1】

Almost Complete

【样例1解释】

这一样例仅包含一组测试数据，其中树的集合P仅包含一棵由单个结点构成的树。由于单个结点可以删去唯一的叶子结点，一步替换得到任何树，grow(P) 包含了所有树，自然是几乎完备的。

【样例输入2】

1
3
3
2 3
0 0
0 0
2
2 0
0 0
2
0 2
0 0

【样例输出2】

Almost Complete

【样例2解释】

这一样例仅包含一组测试数据，其中树的集合P包含三棵树，如下图所示。容易发现，仅有单个结点构成的树不在 grow(P) 中，其包含了几乎所有树，因而是几乎完备的。

【样例输入3】

1
2
3
2 3
0 0
0 0
2
2 0
0 0

【样例输出3】

No

【样例3解释】

这一样例仅包含一组测试数据，其中树的集合P包含两棵树。容易发现，对于所有的 n≥2，包含 n 个结点，每个非叶结点仅有右孩子的链状树都不在 grow(P) 中，因而存在无穷多棵树不在 grow(P) 中，P不是几乎完备的。

【数据范围】

全部数据满足：∑n≤2×10^6， ∑m≤2×10^6， max h≤2×10^6， T≤10^2。其中，∑n 表示这一测试点所有测试数据中所出现的所有树的结点个数之和；∑m 表示这一测试点中所有测试数据中所出现的树的个数；max h 表示这一测试点中所出现的所有树的最高高度（仅包含一个结点的树高度为 1）。下表中的表项 ∑n，∑m 和 max h 含义与上面相同，描述了每一组测试点的数据范围。

特殊性质：下面是下表中会涉及的四种特殊性质的解释。

特殊性质 1：对于这一测试点中的每一组测试数据，都有 m≤4，即树的集合中包括不超过 4 棵树；

特殊性质 2：对于这一测试点中的每一组测试数据，树的集合中所有的树具有相同的高度；

特殊性质 3：对于这一测试点中的每一组测试数据，树的集合仅包含链（换言之，每个非叶结点仅包含一个孩子）；

特殊性质 4：对于这一测试点中的每一组测试数据，树的集合仅包含满足以下两个条件之一的树：

  每个非叶结点仅包含一个孩子；

  恰好有两个叶结点，它们具有相同的父结点，并且除这三个结点外，其余结点均有且仅有一个孩子。

每个测试点的具体限制见下表：

【来源】

NOI2020 Day2 Task2