3671. [ZJOI 2019]麻将

【题目描述】

九条可怜是一个热爱打麻将的女孩子。因此她出了一道和麻将相关的题目，希望这题不会让你对麻将的热爱消失殆尽。

今天，可怜想要打麻将，但是她的朋友们都去下自走棋了，因此可怜只能自己一个人打。可怜找了一套特殊的麻将，它有 $n (n \ge 5)$ 种不同的牌，大小分别为 $1$ 到 $n$，每种牌都有 $4$ 张。

定义面子为三张大小相同或者大小相邻的麻将牌，即大小形如 $i, i, i (1 \le i \le n)$ 或者 $i,i+1,i+2 (1 \le i \le n−2)$。定义对子为两张大小相同的麻将牌，即大小形如 $i, i (1 \le i \le n)$。

定义一个麻将牌集合 $S$ 是胡的当且仅当它的大小为 $14$ 且满足下面两个条件中的至少一个：

$S$ 可以被划分成五个集合 $S_1 \dots S_5$ 。其中 $S_1$ 为对子，$S_2 \dots S_5$ 为面子。$S$ 可以被划分成七个集合 $S_1 \dots S_7$ ，它们都是对子，且对应的大小两两不同。

举例来说，下列集合都是胡的（这儿只标记了大小）：

$\{1,1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9\}$

$\{1,1,2,2,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8\}$

$\{1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7\}$

而下列集合都不是胡的：

$\{1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9\}$

$\{1,1,1,1,4,4,5,5,6,6,7,7,8,8\}$

$\{1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,9,11\}$

可怜先摸出了 $13$ 张牌，并把剩下的 $4n-13$ 张牌随机打乱。打乱是等概率随机的，即所有 $4n−13$ 种排列都等概率出现。

对于一个排列 $P$，可怜定义 $S_i$ 为可怜事先摸出的 $13$ 张牌加上 $P$ 中的前 $i$ 张牌构成的集合，定义 $P$ 的权值为最小的满足 $S_i$ 存在一个子集是胡的。如果你对麻将比较熟悉，不难发现 $P$ 的权值就是理论上的最早胡牌巡目数。注意到 $n \ge 5$ 的时候，$S_{4n-13}$总是存在胡的子集的，因此 $P$ 的权值是良定义的。

现在可怜想要训练自己的牌效，因此她希望你能先计算出 $P$ 的权值的期望是多少。

【输入格式】

第一行输入一个整数 $n$ ，表示这副特殊的麻将牌中的大小种类数。

接下来输入 $13$ 行每行两个整数 $w,t (1 \le w \le n,1 \le t \le 4)$ ，表示可怜最开始摸出的第 $i$ 张牌是大小为 $w$ 的第 $t$ 张牌，保证 $(w,t)$ 二元组两两不同。

【输出格式】

输出一行一个整数，表示答案对 $998244353$ 取模后的值。即如果答案的最简分数表示为 $\frac{x}{y}(x \ge 0,y \ge 1,\gcd(x,y)=1)$，你需要输出 $xy − 1 \bmod 998244353$ 。

【样例输入】

9
1 1
1 2
1 3
2 1
3 1
4 1
5 1
6 1
7 1
8 1
9 1
9 2
9 3

【样例输出】

1

【样例说明】

上述牌型叫做纯正九莲宝灯，不难发现不管再加一张什么牌它都是胡的。所以对于所有排列 $P$，权值都是 $1$ ，因此权值的期望就是 $1$。

【数据规模与约定】

对于 $20\%$ 的数据，$n = 5$。

对于 $50\%$ 的数据，$ n \le 13 $。

对于另外 $20\%$ 的数据，$n \le 100, w_i = i,t_i = 1$。

对于另外 $20\%$ 的数据，$n \le 100, w_i= \lceil \frac{i}{4} \rceil, t_i = i \bmod 4 + 1$。

对于 $100\%$ 的数据，$5 \le n \le 100$ 。

【来源】

ZJOI2019 Day1 Task1