3055. [NOIP 2018]赛道修建

【题目描述】

$C$ 城将要举办一系列的赛车比赛。在比赛前，需要在城内修建 $m$ 条赛道。

$C$ 城一共有 $n$ 个路口，这些路口编号为 $1,2, … , n$，有 $n-1$ 条适合于修建赛道的双向通行的道路，每条道路连接着两个路口。其中，第 $i$ 条道路连接的两个路口编号为$a_i$和$b_i$，该道路的长度为$l_i$。借助这 $n-1$ 条道路，从任何一个路口出发都能到达其他所有的路口。

一条赛道是一组互不相同的道路$e_1$, $e_2$, … , $e_k$，满足可以从某个路口出发，依次经过道路$e_1$, $e_2$, … , $e_k$（每条道路经过一次，不允许调头）到达另一个路口。一条赛道的长度等于经过的各道路的长度之和。为保证安全，要求每条道路至多被一条赛道经过。

目前赛道修建的方案尚未确定。你的任务是设计一种赛道修建的方案，使得修建的 $m$ 条赛道中长度最小的赛道长度最大（即 $m$ 条赛道中最短赛道的长度尽可能大）。

【输入格式】

输入文件第一行包含两个由空格分隔的正整数$n$, $m$，分别表示路口数及需要修建的赛道数。

接下来 $n$ − $1$ 行，第 $i$ 行包含三个正整数$a_i$, $b_i$, $l_i$，表示第 $i$ 条适合于修建赛道的道路连接的两个路口编号及道路长度。保证任意两个路口均可通过这 $n$ − $1$ 条道路相互到达。每行中相邻两数之间均由一个空格分隔。

【输出格式】

输出共一行，包含一个整数，表示长度最小的赛道长度的最大值。

【样例输入1】

7 1
1 2 10
1 3 5
2 4 9
2 5 8
3 6 6
3 7 7

【样例输出1】

31

【输入输出样例1说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

道路旁括号内的数字表示道路的编号，非括号内的数字表示道路长度。

需要修建 $1$ 条赛道。可以修建经过第 $3,1,2,6$ 条道路的赛道（从路口 $4$ 到路口 $7$），则该赛道的长度为 $9$ + $10$ + $5$ + $7$ = $31$，为所有方案中的最大值。

【样例输入2】

9 3
1 2 6
2 3 3
3 4 5
4 5 10
6 2 4
7 2 9
8 4 7
9 4 4

【样例输出2】

15

【输入输出样例2说明】

所有路口及适合于修建赛道的道路如下图所示：

需要修建 $3$ 条赛道。可以修建如下 $3$ 条赛道：

1.经过第 $1,6$ 条道路的赛道（从路口 $1$ 到路口 $7$），长度为 $6$ + $9$ = $15$；

2.经过第 $5,2,3,8$ 条道路的赛道（从路口 $6$ 到路口 $9$），长度为 $4$ + $3$ + $5$ + $4$ = $16$；

3.经过第 $7$,$4$ 条道路的赛道（从路口 $8$ 到路口 $5$），长度为 $7$ + $10$ = $17$。长度最小的赛道长度为 $15$，为所有方案中的最大值。

【输入输出样例3】

样例数据3

【数据规模与约定】

【来源】

$NOIP$ $2018$ $Day$ $1$ $Task$ $3$