4232. [NOIP 2025 T4]序列询问

【题目描述】

给定一个长度为 $n$ 的整数序列 $a_1, a_2, \ldots, a_n$。

有 $q$ 次询问，其中第 $j$ ($1 \le j \le q$) 次询问将会给出 $L_j, R_j$ ($1 \le L_j \le R_j \le n$)。定义区间 $[l, r]$ ($1 \le l \le r \le n$) 是极好的，当且仅当区间 $[l, r]$ 的长度在 $[L_j, R_j]$ 内，即 $L_j \le r - l + 1 \le R_j$。定义区间 $[l, r]$ ($1 \le l \le r \le n$) 的权值为 $\sum_{i=l}^{r} a_i$。对于所有 $i = 1, 2, \ldots, n$，求出所有包含 $i$ 的极好区间的最大权值，即 $\max_{1 \le l \le i \le r \le n} \{ \sum_{i=l}^{r} a_i \mid L_j \le r - l + 1 \le R_j \}$。

【输入格式】

输入的第一行包含一个正整数 $n$，表示序列长度。

输入的第二行包含 $n$ 个整数 $a_1, a_2, \ldots, a_n$。

输入的第三行包含一个正整数 $q$，表示询问次数。

输入的第 $j + 3$ ($1 \le j \le q$) 行包含两个正整数 $L_j, R_j$，表示第 $j$ 次询问。

【输出格式】

对于每次询问，设包含 $i$ ($1 \le i \le n$) 的极好区间的最大权值为 $k_i$，输出一行一个非负整数，表示 $\bigoplus_{i=1}^{n} \left( (i \times k_i) \bmod 2^{64} \right)$，其中 $\oplus$ 表示二进制按位异或。注意：对于任意整数 $x$，存在唯一的非负整数 $x'$ 满足 $x' \equiv x \pmod{2^{64}}$ 且 $0 \le x' \le 2^{64} - 1$，则记 $x \bmod 2^{64} = x'$。

【样例 1 输入】

4
2 4 -5 1
3
1 2
3 4
1 4

【样例 1 输出】

18446744073709551603
8
4

【样例 1 说明】

对于第 $1$ 次询问：

包含 $1$ 的极好区间为 $[1,1]$ 和 $[1,2]$，权值分别为 $2,6$；

包含 $2$ 的极好区间为 $[1,2]$，$[2,2]$ 和 $[2,3]$，权值分别为 $6,4,-1$；

包含 $3$ 的极好区间为 $[2,3]$，$[3,3]$ 和 $[3,4]$，权值分别为 $-1,-5,-4$；

包含 $4$ 的极好区间为 $[3,4]$ 和 $[4,4]$，权值分别为 $-4,1$。

因此 $k_1 = 6$，$k_2 = 6$，$k_3 = -1$，$k_4 = 1$。

对于第 2 次询问，$k_1 = 2$，$k_2 = 2$，$k_3 = 2$，$k_4 = 2$。

对于第 3 次询问，$k_1 = 6$，$k_2 = 6$，$k_3 = 2$，$k_4 = 2$。

【样例 2】

见选手目录下的 query/query2.in 与 query/query2.ans。  

样例2满足测试点 $2,3$ 的约束条件。

【样例 3】

见选手目录下的 query/query3.in 与 query/query3.ans。  

该样例满足测试点 $4$ 的约束条件。

【样例 4】

见选手目录下的 query/query4.in 与 query/query4.ans。  

该样例满足测试点 $6,7$ 的约束条件。

【样例 5】

见选手目录下的 query/query5.in 与 query/query5.ans。  

该样例满足测试点 $8 \sim 10$ 的约束条件。

【样例 6】

见选手目录下的 query/query6.in 与 query/query6.ans。  

该样例满足测试点 $11,12$ 的约束条件。

【样例 7】

见选手目录下的 query/query7.in 与 query/query7.ans。  

该样例满足测试点 $13$ 的约束条件。

【样例 8】

见选手目录下的 query/query8.in 与 query/query8.ans。  

该样例满足测试点 $16 \sim 20$ 的约束条件。

【数据范围】

对于所有测试数据，均有：

$1 \le n \le 5 \times 10^4$，$1 \le q \le 1,024$；

对于所有 $1 \le i \le n$，均有 $|a_i| \le 10^5$；

对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $1 \le L_j \le R_j \le n$。

特殊性质 A：对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $L_j = R_j$。

特殊性质 B：对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $R_j \le 32$。

特殊性质 C：对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $L_j \le 16$ 且 $R_j \ge n 1000$。

特殊性质 D：对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $L_j > n/2$。

特殊性质 E：对于所有 $1 \le j \le q$，均有 $L_j > n/4$。

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