3620. [CSP 2021S]括号序列

【题目描述】

小 w 在赛场上遇到了这样一个题：一个长度为$n$且符合规范的括号序列，其有些位置已经确定了，有些位置尚未确定，求这样的括号序列一共有多少个。

身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题，不仅如此，他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了，于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小c。

具体而言，小 w 定义“超级括号序列”是由字符(、)、*组成的字符串，并且对于某个给定的常数$k$，给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下：

1、()、(S)均是符合规范的超级括号序列，其中S表示任意一个仅由不超过$k$个字符*组成的非空字符串（以下两条规则中的S均为此含义）；

2、如果字符串A和B均为符合规范的超级括号序列，那么字符串AB、ASB均为符合规范的超级括号序列，其中AB表示把字符串A和字符串B拼接在一起形成的字符串；

3、如果字符串A为符合规范的超级括号序列，那么字符串(A)、(SA)、(AS)均为符合规范的超级括号序列。

4、所有符合规范的超级括号序列均可通过上述3条规则得到。

例如，若$k = 3$ ，则字符串((**()*(*))*)(***)是符合规范的超级括号序列，但字符串*()、(*()*)、((**))*)、(****(*))均不是。特别地，空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 $n$ 的超级括号序列，其中有一些位置的字符已经确定，另外一些位置的字符尚未确定（用?表示）。小 w 希望能计算出：有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列？

可怜的小c并不会做这道题，于是只好请求你来帮忙。

【输入格式】

第 1 行，2 个正整数 $n,k$ 。

第 2 行，一个长度为$n$且仅由(、)、*、?构成的字符串S。

【输出格式】

输出一个非负整数表示答案对$10^9+7$取模的结果。

【样例1输入】

7 3
(*??*??

【样例1输出】

5

【样例1解释】

如下几种方案是符合规范的：

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

【样例2输入】

10 2
???(*??(?)

【样例2输出】

19

【样例3/4】

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【数据规模与约定】

对于 100% 的数据，$1\leq k\leq n\leq 500$。

【来源】

CSP2021 提高组 Task2