3414. [BJWC2012]冻结

【题目背景】

“我要成为魔法少女！”

“那么，以灵魂为代价，你希望得到什么？”

“我要将有关魔法和奇迹的一切，封印于卡片之中„„”

在这个愿望被实现以后的世界里，人们享受着魔法卡片（SpellCard，又名符卡）带来的便捷。

现在，不需要立下契约也可以使用魔法了！你还不来试一试？

比如，我们在魔法百科全书（Encyclopedia of Spells）里用“freeze”作为关键字来查询，会有很多有趣的结果。

例如，我们熟知的 Cirno，她的冰冻魔法当然会有对应的 SpellCard 了。当然，更加令人惊讶的是，居然有冻结时间的魔法，Cirno 的冻青蛙比起这些来真是小巫见大巫了。

这说明之前的世界中有很多魔法少女曾许下控制时间的愿望，比如 Akemi Homura、Sakuya Izayoi、……

当然，在本题中我们并不是要来研究历史的，而是研究魔法的应用。

【题目描述】

我们考虑最简单的旅行问题吧： 现在这个大陆上有 $N$ 个城市，$M$ 条双向的道路。城市编号为 $1$ ~ $N$，我们在 $1$ 号城市，需要到 $N$ 号城市，怎样才能最快地到达呢？

这不就是最短路问题吗？我们都知道可以用 Dijkstra、Bellman-Ford、Floyd-Warshall等算法来解决。

现在，我们一共有 $K$ 张可以使时间变慢 50%的 SpellCard，也就是说，在通过某条路径时，我们可以选择使用一张卡片，这样，我们通过这一条道路的时间 就可以减少到原先的一半。需要注意的是：

1、在一条道路上最多只能使用一张 SpellCard。

2、使用一张SpellCard 只在一条道路上起作用。

3、你不必使用完所有的 SpellCard。

给定以上的信息，你的任务是：求出在可以使用这不超过 $K$ 张时间减速的 SpellCard 之情形下，从城市 $1$ 到城市 $N$ 最少需要多长时间。

【输入格式】

第一行包含三个整数：$N$、$M$、$K$。

接下来 MM 行，每行包含三个整数：$A_i$、$B_i$、$Time_i$，表示存在一条 $A_i$ 与 $B_i$ 之间的双向道路，在不使用 SpellCard 之前提下，通过它需要 $Time_i$ 的时间。

【输出格式】

输出一个整数，表示从 $1$ 号城市到 $N$ 号城市的最小用时。

【样例输入】

4 4 1 
1 2 4 
4 2 6 
1 3 8 
3 4 8 

【样例输出】

7

【样例说明】

在不使用 SpellCard 时，最短路为 1→2→4，总时间为 10。现在我们可以使用 1 次 SpellCard，那么我们将通过 2→4 这条道路的时间减半，此时总时间为7。

【数据规模与约定】

对于 100% 的数据，保证：

$1 \leq K \leq N \leq 50$，$M \leq 10^3$

$1 \leq A_i,B_i \leq N$，$2 \leq Time_i \leq 2 \times 10^3$

为保证答案为整数，保证所有的 $Time_i$ 均为偶数。所有数据中的无向图保证无自环、重边，且是连通的。

【来源】

BJWC 2012、洛谷。