4050. [CSP 2024 J]地图探险

【题目描述】

小 A 打算前往一片丛林去探险。丛林的地理环境十分复杂，为了防止迷路，他先派遣了一个机器人前去探路。

丛林的地图可以用一个 $n$ 行 $m$ 列的字符表来表示。我们将第 $i$ 行第 $j$ 列的位置的坐标记作 $(i, j)(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m)$。如果这个位置的字符为 x，即代表这个位置上有障碍，不可通过。反之，若这个位置的字符为 .，即代表这个位置是一片空地，可以通过。

这个机器人的状态由位置和朝向两部分组成。其中位置由坐标 $(x, y)(1 \leq x \leq n, 1 \leq y \leq m)$ 刻画，它表示机器人处在地图上第 $x$ 行第 $y$ 列的位置。而朝向用一个 $0 \sim 3$ 的 整数 $d$ 表示，其中 $d = 0$ 代表向东，$d = 1$ 代表向南，$d = 2$ 代表向西，$d = 3$ 代表向北。

初始时，机器人的位置为 $(x_0, y_0)$，朝向为 $d_0$。**保证初始时机器人所在的位置为空地**。接下来机器人将要进行 $k$ 次操作。每一步，机器人将按照如下的模式操作：

1. 假设机器人当前处在的位置为 $(x, y)$，朝向为 $d$。则它的方向上的下一步的位置 $(x^′, y^′)$ 定义如下：若 $d = 0$，则令 $(x^′, y^′) = (x, y + 1)$，若 $d = 1$，则令 $(x^′, y^′) = (x + 1, y)$，若 $d = 2$，则令 $(x^′, y^′) = (x, y - 1)$，若 $d = 3$，则令 $(x^′, y^′) = (x − 1, y)$。

2. 接下来，机器人判断它下一步的位置是否在地图内，且是否为空地。具体地说，它判断 $(x^′, y^′)$ 是否满足 $1 \leq x^′ \leq n, 1 \leq y^′ \leq m$，且 $(x^′, y^′)$ 位置上是空地。如果条件成立，则机器人会向前走一步。它新的位置变为 $(x^′, y^′)$，且朝向不变。如果条件不成立，则它会执行“向右转”操作。也就是说，令 $d^′ = (d + 1) \bmod 4$（即 $d + 1$ 除以 $4$ 的余数），且它所处的位置保持不变，但朝向由 $d$ 变为 $d^′$。

小 A 想要知道，在机器人执行完 $k$ 步操作之后，地图上所有被机器人经过的位置（包括起始位置）有几个。

【输入格式】

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

第一行包含三个正整数 $n, m, k$。其中 $n, m$ 表示地图的行数和列数，$k$ 表示机器人执行操作的次数。

第二行包含两个正整数 $x_0, y_0$ 和一个非负整数 $d_0$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个长度为 $m$ 的字符串。保证字符串中只包含 x 和 . 两个字符。其中，第 $x$ 行的字符串的第 $y$ 个字符代表的位置为 $(x, y)$。这个位置是 x 即代表它是障碍，否则代表它是空地。数据保证机器人初始时所在的位置为空地。

【输出格式】

对于每组数据：输出一行包含一个正整数，表示地图上所有被机器人经过的位置（包括起始位置）的个数。

【样例1输入】

2
1 5 4
1 1 2
....x
5 5 20
1 1 0
.....
.xxx.
.x.x.
..xx.
x....

【样例1输出】

3
13

【样例说明】

该样例包含两组数据。对第一组数据，机器人的状态以如下方式变化：

1. 初始时，机器人位于位置 $(1, 1)$，方向朝西（用数字 $2$ 代表）。

2. 第一步，机器人发现它下一步的位置 $(1, 0)$ 不在地图内，因此，它会执行“向右转”操作。此时，它的位置仍然为 $(1, 1)$，但方向朝北（用数字 $3$ 代表）。

3. 第二步，机器人发现它下一步的位置 $(0, 1)$ 不在地图内，因此，它仍然会执行“向右转”操作。此时，它的位置仍然为 $(1, 1)$，但方向朝东（用数字 $0$ 代表）。

4. 第三步，机器人发现它下一步的位置 $(1, 2)$ 在地图内，且为空地。因此，它会向东走一步。此时，它的位置变为 $(1, 2)$，方向仍然朝东。

5. 第四步，机器人发现它下一步的位置 $(1, 3)$ 在地图内，且为空地。因此，它会向东走一步。此时，它的位置变为 $(1, 3)$，方向仍然朝东。

因此，四步之后，机器人经过的位置有三个，分别为 $(1, 1),(1, 2),(1, 3)$。

对第二组数据，机器人依次执行的操作指令为：向东走到 $(1, 2)$，向东走到 $(1, 3)$，向东走到 $(1, 4)$，向东走到 $(1, 5)$，向右转，向南走到 $(2, 5)$，向南走到 $(3, 5)$，向南走到 $(4, 5)$，向南走到 $(5, 5)$，向右转，向西走到 $(5, 4)$，向西走到 $(5, 3)$，向西走到 $(5, 2)$，向右转，向北走到 $(4, 2)$，向右转，向右转，向南走到 $(5, 2)$，向右转，向右转。

【样例 2】

见选手目录下的 explore/explore2.in 与 explore/explore2.ans。

该样例满足第 $3\sim 4$ 个测试点的限制条件。

【样例 3】

见选手目录下的 explore/explore3.in 与 explore/explore3.ans。

该样例满足第 $5$ 个测试点的限制条件。

【样例 4】

见选手目录下的 explore/explore4.in 与 explore/explore4.ans。

该样例满足第 $6$ 个测试点的限制条件。

【样例 5】

见选手目录下的 explore/explore5.in 与 explore/explore5.ans。

该样例满足第 $8 \sim 10$ 个测试点的限制条件。

样例下载

【数据规模与约定】

对于所有测试数据，保证：$1 \leq T \leq 5, 1 \leq n, m \leq 10^3$，$1 \leq k \leq 10^6$，$1 \leq x_0 \leq n$，$1 \leq y_0 \leq m$，$0 \leq d_0 \leq 3$，且机器人的起始位置为空地。