3851. [春季测试 2023]圣诞树

【题目描述】

众所周知，3202 年的圣诞节快要到了，因此小 Ω 买了一棵圣诞树和一根挂满了彩灯的电线，并打算把这根电线缠绕在圣诞树上。

圣诞树可以视作一个二维平面上有 $n$ 个顶点的凸多边形。这 $n$ 个顶点可以用于固定电线，且按顺时针顺序依次编号为 $1, \cdots, n$。其中第 $i$ 个顶点的坐标为 $(x_i, y_i)$，记其中 $y$ 坐标最大的顶点的编号为 $k$（若有多个满足条件的顶点，则取编号最小的）。不保证编号为 $1$ 的顶点的 $x$ 坐标最小。

下图左侧展示了一棵圣诞树的轮廓，其中 $y$ 坐标最大的顶点的编号为 $k = 5$。

小 Ω 希望用挂满了彩灯的电线装饰这棵圣诞树。出于美观性考虑，她希望这根电线经过所有顶点恰好一次；为了连接电源，这根电线需要从 $(x_k, y_k)$ 出发。形式化地，她需要决定一个 $1, \cdots, n$ 的排列 $p_1, \cdots, p_n$，满足 $p_1 = k$，随后这根电线从 $(x_{p_1}, y_{p_1})$ 出发，依次经过 $(x_{p_2}, y_{p_2}), \cdots, (x_{p_n}, y_{p_n})$。此时，电线长度为 $\sum_{i=1}^{n-1}{d((x_{p_i}, y_{p_i}), (x_{p_{i+1}}, y_{p_{i+1}}))}$。

·其中 $d$ 为平面上的欧几里得距离，即 $d((x, y), (x', y')) = \sqrt{(x - x')^2 + (y - y')^2}$。

上图右侧展示了一种可能的方案，此时对应的排列为 $5, 4, 8, 6, 3, 9, 1, 7, 2$。

为了节省成本，她希望你能在所有可能的方案中，给出一种使电线长度最短的方案。如果使电线长度最短的方案不唯一，你只需要求出其中任意一种。

考虑到浮点数产生的误差，你输出的方案与最优方案的线段长度的相对误差或绝对误差不超过 $10^{-10}$ 时即认为答案正确。

【输入格式】

第一行包含一个正整数 $n$，表示圣诞树的顶点数。

接下来 $n$ 行，其中第 $i$ 行包含两个精确到小数点后 $9$ 位的实数 $x_i, y_i$ 表示编号为 $i$ 的顶点的坐标。

数据保证这 $n$ 个点两两不同，并且依次连接 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), \cdots, (x_n, y_n)$ 将形成一个凸多边形。

【输出格式】

输出一行包含 $n$ 个由单个空格隔开的正整数 $p_1, p_2, \cdots, p_n$，表示一个 $1, \cdots, n$ 的排列，满足 $p_1 = k$，且电线的长度 $\sum_{i=1}^{n-1}{d((x_{p_i}, y_{p_i}), (x_{p_{i+1}}, y_{p_{i+1}}))}$ 在所有可能的方案中最短。如果这样的方案不唯一，请输出其中任意一种方案。

【样例1输入】

3
0.000000000 0.000000000
3.000000000 0.000000000
1.000000000 1.000000000

【样例1输出】

3 1 2

【样例1解释】

这一样例中只有下图所示的两种方案，对应排列分别为 $3, 1, 2$ 或 $3, 2, 1$，电线长度分别为 $3 + \sqrt{2}$ 和 $3 + \sqrt{5}$，而 $3 + \sqrt{2} < 3 + \sqrt{5}$。

因此答案对应的排列为 $3, 1, 2$。

【样例2/3/4/5/6下载】

样例下载

样例4满足特殊性质A。

样例5满足特殊性质B。

【数据规模与约定】

对于所有数据，保证 $3 \le n \le 1000$；$|x_i|, |y_i| \le 10^7$。

特殊性质 A：保证存在正整数 $m \ge n$，使得输入的 $n$ 个顶点对应正 $m$ 边形中连续的一段顶点。

特殊性质 B：保证 $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$，且 $y_1 > y_2 > \cdots > y_n$。

【来源】

NOI 2023 春季测试 Task3