一个组合计数比较好的题。

恰好一次都不出现的方案数，其实可以容斥成“出现至少 $k$ 次”的方案数（下文表示为 $f_k$）,具体的，可以表示为 $\sum_{i=0}(-1)^if_{i}$，简单容斥不在阐述。

对于至少出现 $k$ 次的方案数，其实可以先生成 $k$ 个段，然后插入到最终的序列里，把每个段缩成一个位置，原本有 $n$ 个位置，$4k$ 个位置被缩进段了，$k$ 个段缩成了一个位置，还剩下 $n-4k+k=n-3k$ 个位置，要选 $k$ 个位置，就是 $C_{n-3k}^k$。

对于剩下的部分，其实就是求出将四种数填满 $n-4k$ 个位置，且剩下每种数都不超过 $a/b/c/d-k$ 次。下文方便讨论，$n\gets n-4k,a,b,c,d$ 各自减去 $k$。

对于 $a+b+c+d=n$ 的情况，实际上是多重集的排列数，即 $\frac{n!}{a!b!c!d!}$。

对于 $a+b+c+d\ge n$ 的情况，实际上可以枚举 $a'\le a,b'\le b,c'\le c,d'\le d$，满足 $a'+b'+c'+d'=n$，然后产生 $\frac{n!}{a'!b'!c'!d'!}$ 的方案，实际上做四次卷积即可解决，这个做法需要外层枚举一个 $k$，内层做卷积，复杂度为 $O(n^2\log n)$。

实际上一个更优的做法，枚举 $x=a'+b'$，则 $n-x=c'+d'$，枚举 $y=a'$，则 $x-y=b'$，注意到 $a'\in [0,a],b'\in [0,b]$，则对于 $y$ 合法取值的限制实际上是和 $x$ 相关的某个区间，可以 $O(1)$ 算法，对于 $c'+d'$ 的部分同理，所以只需要枚举一个 $k$，枚举一个 $x$，然后预处理出组合数的前缀和即可 $O(1)$ 回答，时间复杂度为 $O(n^2)$。