这是一道好题。

首先对于 $x_i=y_i$ 的部分，这是一个经典的点分治问题，可以直接用点分治解决。

对于 $x_i\ne y_i$ 的部分，假设 $x_i$ 为 $y_i$ 祖先，可以把符合条件的点分为 $x_i$ 子树外的和 $x_i$ 子树内的。

令 $f_{i,j}$ 表示子树 $i$ 内距离 $i$ 不超过 $j$ 的节点个数，前者可以通过点分治和 $f_{x_i,d}$ 作差求得。

对于后者，首先链上的点一定符合条件，其次考虑枚举链上某个点 $u$，并枚举 $u$ 的一个不在链上的儿子 $v$，加上 $f_{v,d-1}$。即为答案。

对于 $x_i$ 不为 $y_i$ 祖先的情况，考虑先求出 LCA 然后拆成两条竖直的链来做。综上，现在有了一个不知道什么复杂度的暴力做法了，考虑优化。

注意到：对于链上的 $u$ 以及想要计算的 $v$，绝大部分 $v$ 是 $u$ 的轻儿子。换句话说，对树进行轻重链剖分，则一条路径上只有 $\log n$ 条轻边。

考虑设 $g_{i,j}$ 表示 $i$ 的所有轻儿子子树中，距离 $i$ 不超过 $j$ 的节点个数，先求出竖直链上的 $g_{u,d}$ 之和，对于一条位于查询路径上的轻边 $(u,v)$，其中 $u$ 为 $v$ 的父亲，只需要减去 $f_{v,d-1}$ 然后加上 $f_{son(u),d-1}$ 即可正确处理这条轻边的贡献。

链上的 $g_{i,j}$ 之和可以通过树上差分求出，令 $G_{i,j}$ 表示 $1\to i$ 路径上所有点 $u$ 的 $g_{u,j}$ 之和。

现在我们要做的是：
1. $O(n)$ 次查询距离点 $x$ 不超过 $k$ 的点的个数。

2. $O(n\log n)$ 次查询 $x$ 子树内距离点 $x$ 不超过 $k$ 的点个数。

3. $O(n)$ 次查询 $G_{i,j}$。

第一个可以点分治做到 $O(n\log^2 n)$，第二个可以用 dfs 序转化为二维数点做到 $O(n\log^2 n)$，第三者可以先离线询问，dfs 时暴力遍历轻子树做到 $O(n\log^2 n)$，所以整个题就可以做到 $O(n\log^2 n)$。

因为本题的边边权均为 $1$，可以做到 $O(n\log n)$ 完成第 $1,3$ 个部分（具体的，我们直接维护前缀和，加入一个子树可以用 $O(siz)$ 的复杂度求出对前缀和数组 $O(siz)$ 个位置的影响），第二个部分使用长链剖分应该也能做到 $O(n\log n)$。所以本题应该是可以 $O(n\log n) $ 的。

当然我比较懒，所以只实现了 $O(n\log^2 n)$ 的，不过感觉 1log 可能也挺好写的？