前言

由 zlc 和 fhx 提供的思路，orz。

貌似是 COGS 目前的最优解？（可能是其他人的常数太大了）

思路分析

先考虑一个经典的 dp，设 $f_i$ 表示将 $1\sim i$ 划分为若干好数组的方案，则有转移 $f_i=\sum f_{j-1}$，其中满足 $[j,i]$ 是一个好区间。

这样枚举 $i$，枚举 $j$，$O(n)$ 检测，就有 $O(n^3)$ 的 dp 了。注意到 $n\le 5\times 10^5$，考虑优化。

不难发现好的子数组在原数组中，要么是奇数位置为轻元素，偶数位置为重元素；要么是偶数位置为轻元素，奇数位置为重元素，所以我们分两种情况转移：分别是以 $i$ 结尾，奇数位置为轻元素和 $i$ 结尾，偶数位置为轻元素。两者本质没有区别，我们依靠前者讨论。

我们考虑区间左端点 $j$ 可以取到哪些位置，考虑对于任意 $x\in [1,i]$，元素 $x$ 对左端点 $j$ 的约束。

1. 若 $x$ 为奇数位置，作为轻元素约束 $j$。

则 $j$ 必须满足 $[lst_x+1,n]$，即对于任意 $i\in [1,n]$，只要 $j\in [lst_x+1,n]$，区间 $[j,i]$ 就可以满足 $x$ 的限制。

证明不难，当 $j\in [lst_x+1,x]$ 时，区间至多包含一个 $x$。当 $j>x$，区间一个 $x$ 都没有，自然无法约束。

容易发现，对 $j$ 的限制个数是奇数位置所有位置。

2.若 $x$ 为偶数位置，作为重元素约束 $j$

这种情况较为复杂。

首先可以发现对 $j$ 限制个数是元素种类数，对于同一种元素，我们用这种元素在 $[1,i]$ 中最后一次出现的位置来约束 $j$。

记 $p$ 为上一个在奇数位置出现的 $x$，$q$ 为 $x$ 上一次出现的位置。当 $j\le q$ 时，$[i,j]$ 一定包含了 $q,x$，满足重元素的限制，当 $j\le p$ 时，$p$ 作为重元素出现在奇数位置，$[i,j]$ 不合法，所以 $x$ 的限制是 $j\in [q+1,p]\cup[x+1,n]$。

注意：此时是按照 $x$ 是 $[1,i]$ 最后一次出现的数，随着 $i$ 的右移，如果在偶数位置出现一个和 $x$ 一样的元素 $y$。就要先撤销 $x$ 的限制，然后加入 $y$ 的限制。

考虑如何维护满足限制的端点：维护每个位置满足限制的个数，不难维护出限制的总个数，对于一个位置，如果它足一个限制，就让他的标记数组加一。如果一个位置满足的限制个数为总个数，就说明 $[j,i]$ 是一个合法的端点。

注意一种特殊情况是 $[i,i]$ 是合法区间，我们只统计 $j\in [1,i-1]$ 的合法左端点。

直接用数组模拟是 $O(n^2)$，容易用线段树优化到 $O(n\log n)$，具体的记录每个区间任意位置满足限制个数最大值，满足限制个数达到这个最大值的 $f_{i-1}$ 之和，pushup 分讨一下即可。

然后这个问题就解决了。