以下提供三种模板供您选择，发布题解时请删除模板中提示语等多余文字。

【模板一：多解法题解模板】

一、 解法概览

二、 详细解析

解法一：[名称，如：暴力搜索]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 算法步骤：

  1、步骤1描述

  2、步骤2描述

  3、步骤3描述

  *、步骤*描述

• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

解法二：[名称，如：动态规划]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 状态定义：dp[i] = [含义说明]
• 状态转移方程：dp[i] = [方程表达式]
• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

解法三：[名称，如：贪心算法]

• 核心思想：

[简要说明核心思路]

• 贪心策略：

[策略描述]

• 正确性证明：

[简要证明或说明]

• 代码实现：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 优缺点分析：
  • 优点： [列出优点]
  • 缺点： [列出缺点]

三、 对比总结

• 效率对比：

[各解法在时间和空间上的表现对比]

• 适用场景推荐：
  • 小数据规模： 推荐[解法名称]
  • 大数据规模： 推荐[解法名称]
  • 特殊要求： [特定场景下的推荐]

四、 推荐题目

• 列出1-2道与本题思路相关、可供巩固练习的题目链接。

【模板二：思维演进题解模板】

一、 初始思路（第一反应）

• 直觉解法：

[描述最初想到的方法]

• 存在问题：

[分析该方法的缺陷]

• 改进方向：

[基于缺陷提出的改进思路]

二、 优化过程

版本1.0：基础实现

• 思路：

[描述基础版本的思路]

• 复杂度： 时间O(?), 空间O(?)
• 核心代码：提供有清晰注释的伪代码或程序填空

[请点击上面c#图标在此处插入伪代码或程序填空]

• 瓶颈分析：

[分析性能瓶颈]

版本2.0：算法优化

• 优化点：
  
  ........................................................................

  该题解等待再次审核

  ........................................................................(剩余 3018 个中英字符)

一、思路

首先对于公式我们可以注意到：

$t=(s_l \space \text{and}\space s_{l+1} \space \text{and } \cdots \text{ and } s_r) \text{ xor } (\text{not }(s_l \text{ or } s_{l+1} \text{ or } \cdots \text{ or } s_r))$

$\forall k \space (1 \leq k \leq m)$ 如果要对答案有贡献就要使 $s$ 的第 $k$ 列的第 $l$ 行到第 $r$ 行都是相同的数

 为什么呢

 如果当前第 $k$ 列对答案的贡献为 $0$

那么显而易见 $xor$ 前后两个式子都必须全为 $1$ 或全是 $0$，考虑全为 $0$ 的情况，对于前一个式子可能 $l \sim r$ 行全是 $0$ 或两种数都有，思考一下就能发现只有当两种数都有的时候才会使答案的贡献为 $0$。

再考虑一下如果前后两个式子全为 $1$，那么对于前一个式子就必须使 $l \sim r$ 行都为 $1$，但显然不可以的，所以就不再考虑。

综上所述如果想让当前第 $k$ 列对答案的贡献为 $1$ 那么 $l \sim r$ 每一个数都为同一种（$0$ 或 $1$）

二、实现

第一关

想必如果理解了以上思路，就很容易想到前缀和（似乎可以用树状数组（doge）），具体怎么实现也很简单根据题目数据会发现一个很奇妙的东西 $nm \leq 1e7$ 这意味着如果我们在主函数中直接定义并初始化时间复杂度是 $O(nm)$ 的！这样便可以建立数组而不超时了。

接下来定义数组 $sum_i,_j$ 表示第 $j$ 列，$1 \sim i$ 的行的前缀和，那么查询时只需要判断 $sum_{l -1},_j \space - \space sum_r,_j$ 是否全为 $0$ 或全为 $1$ 就行了

第二关

还有第二关，发现 $k$ 最大为 $2 * 10^6$ 这是很大的，意味着我们的查询 $l,r$ 完全有可能重复！所以我们可以用 hash 来优化一下（当然一些别的优化，例如：循环节优化 也可以），将每一个 $l,r$ 都变为 $1$ 个 $n$ 进制数，具体为 $l * n + r$，将转化后的数扔进 $map$（当然要用 $unordered \space map$ 优化），每次看 $l,r$ 是否重复即可

第二种实现

即二分做法，我会用另外一篇题解讲述。