前言

由 zlc 和 fhx 提供的思路，orz。

貌似是 COGS 目前的最优解？（可能是其他人的常数太大了）

思路分析

先考虑一个经典的 dp，设 $f_i$ 表示将 $1\sim i$ 划分为若干好数组的方案，则有转移 $f_i=\sum f_{j-1}$，其中满足 $[j,i]$ 是一个好区间。

这样枚举 $i$，枚举 $j$，$O(n)$ 检测，就有 $O(n^3)$ 的 dp 了。注意到 $n\le 5\times 10^5$，考虑优化。

不难发现好的子数组在原数组中，要么是奇数位置为轻元素，偶数位置为重元素；要么是偶数位置为轻元素，奇数位置为重元素，所以我们分两种情况转移：分别是以 $i$ 结尾，奇数位置为轻元素和 $i$ 结尾，偶数位置为轻元素。两者本质没有区别，我们依靠前者讨论。

我们考虑区间左端点 $j$ 可以取到哪些位置，考虑对于任意 $x\in [1,i]$，元素 $x$ 对左端点 $j$ 的约束。

1. 若 $x$ 为奇数位置，作为轻元素约束 $j$。

则 $j$ 必须满足 $[lst_x+1,n]$，即对于任意 $i\in [1,n]$，只要 $j\in [lst_x+1,n]$，区间 $[j,i]$ 就可以满足 $x$ 的限制

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该题解待审

【题解】

        算法一：

       思路：动态规划，$dp[i]$ 是前 $i$ 个元素的有效划分方案数，则 $f[0]=1$（空数组有 $1$ 种划分方式），$f[i]$ 为所有满足 $[j+1,i]$ 是好数组的 $f[j]$ 的和。

       时间复杂度：$O(n^2)$，即 $5000*5000=2.5*10^7$，期望 $15$ 分。

       瓶颈：不能快速判断数组是否是好数组，不能快速累加 $f[j]$;

        算法二：

       思路：有几处优化；

           $1$.对每个元素 $a[i]$，计算 $pre[i]$（上一次出现位置）和 $nxt[i]$（下一次出现位置），所以可以由好数组的性质“对于子数组内的重元素 $a[i]$，其前后出现位置必须在子数组外（否则会影响交替性）”优化判断好数组的条件；

           $2$.若 $j$ 在 $[L..R]$ 内时 $[j+1..i]$ 是好数组，则 $f[i]$ 需要累加 $f[L]+f[L+1]+...+f[R]$，所以用双线段树。好数组有两种起始类型（轻元素开始或重元素开始），需分别维护。因此使用两个线段树 $seg[0]$ 和 $seg[1]$，分别对应两种起始类型，每个线段树节点存储“区间内最大有效长度”和“对应方案数总和”支持区间增减（通过延迟标记）和单点更新；

            $3$.预先生成“区间更新事件”：当遍历到位置 $i$ 时，哪些 $j$ 的范围会因 $a[i]$ 的加入而成为有效划分点，事件按生效位置排序，遍历数组时依次触发，动态更新线段树，确保查询到的 $f[j]$ 都是有效的。

           同样方式计算 $f[i]$，最终需减去重复计算的 $f[i-1]$，对 $1000003$ 取余后输出。

       时间复杂度：$O(n*logn)$，即 $5*10^5*log5*10^5≈10^7$,轻松过 $4$ 秒时限；

       期望得分：$100$；

[CCO 2024] Heavy Light Decomposition

前置知识

分块，DP

简要题意

定义“好的数组”为一个数组内交替出现“轻元素”和“重元素”，轻元素即其在这个数组内是唯一的，重元素即其在数组内出现多次。

有 $n$ 个正整数 $a_i$，求其有多少种划分方案能使划分后的子数组均为好的数组。

分析样例

我们首先要搞懂一个东西，就是划分后好的数组，是指这个子数组是好的，在这个子数组内的轻重元素与原数组并没有关系，每个子数组是互相独立的。

对于样例一，其划分方案如下：

- $[1], [2], [3], [2], [3]$

- $[1], [2, 3, 2], [3]$

- $[1], [2], [3, 2, 3]$

- $[1, 2, 3, 2], [3]$

对于样例二，其划分方案如下：

- $[1], [2], [1], [3], [1]$

- $[1, 2, 1], [3], [1]$

- $[1, 2, 1, 3], [1]$

- $[1], [2], [1, 3, 1]$

- $[1], [2, 1, 3, 1]$

- $[1, 2, 1, 3, 1]$

不明白的建议手推一下。

思路分析

考虑转移

我们定义 $dp[i]$ 为前 $i$ 个元素的合法划分的方案数。

那么，转移方程很显然：$dp[i] = \sum dp[j]$，其中 $j < i$ 且 子数组 $[j + 1, i]$ 是好数组。

实际上含义就是在 $j$ 处划分，新增一个子数组 $[j + 1, i]$，方案累加前 $j$ 个元素的方案数。

考虑好数组的约束

如果 $[j + 1, i]$ 为好的数组，那么需要满足：

1. 类型交替：即数组内的元素轻重交替。

2. 奇偶性约束：如果重元素第一次出现在奇数位，那么奇数位全是重元素，反之。

因此我们如果直接枚举所有的 $j$ 去验证 $[j + 1, i]$ 是否为好数组，时间复杂度为 $O(n ^ 2)$。

考虑优化

对于当前的位置 $i$，我们设其元素大小为 $v$，用 $odd[v]$ 和 $even[v]$ 来记录 $v$ 在奇数和偶数位最近的出现位置，这样的话可以确定 $j$ 的下界。

为了保证子数组 $[j + 1, i]$ 满足类型交替，需要避免 $v$ 元素在数组内出现奇偶性冲突，那么若 $j + 1 < \min(odd[v], even[v])$ 的话，则会使其冲突。

因此我们使 $minL$ 取所有元素 $min(odd[v], even[v]) + 1$ 的最大值，因此 $j > minL - 1$。

然后是最重要的分块，我们将原数组分块，每个块维护两个核心内容，$sum[k][b]$ 表示 $b$ 块满足在奇偶性 $k$ 下的合法的 $dp[j]$ 之和，$kpos[k][b]$ 是在 $k$ 的奇偶性下块 $b$ 是否满足。另外，为了维护分块时的单个元素， 我们维护 $pos[k][i]$ 是单个位置的 $i$ 是否满足奇偶性 $k$。

当我们查询 $[l, r]$ 内符合条件的 $dp[j]$ 之和时，对于整块，只需要判断 $kpos$ 是否有效，然后累加 $sum$ 即可，对于单个的块边缘的元素，则需要满足 $kpos$ 和 $pos$，有效则累加 $dp[j]$。

在区间更新时，只需要标记区间有效和无效，在完整的块上更新 $kpos$，零散的元素更新 $pos$ 和 $sum$。

时间复杂度

分块的单次查询和更新的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$，时间复杂度为 $O(n \sqrt n)$。

简单卡常即可，最慢的点才两秒出头，对于四秒的时间限制完全够用。