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大意

给出一段区间的颜色，区间询问，求某段区间两个点颜色相同的概率(用分数表示)

思路

发现询问和查询隔离，考虑莫队。

然后我们的修改是不是只需要考虑多一个或者少一个点，那么这个很好办啊。

如果记当前答案(分子)是 $\text{ans}$，则在加入点的时候，$\text{ans}$ 先加上原来这个新加入点颜色的贡献，如果是删点的花就先把删掉的这个点的贡献减去，$\text{ans}$ 的贡献就减去减掉后的这个贡献。

然后注意 long long 即可。

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大意

在 $i$ 的地方会向后跳 $a[i]$ 次，然后带修询问你最少需要跳几次能跳出这个长度为 $n$ 的地方

思路

首先我们发现每个点的弹出，会影响下一个点 $i + a[i]$，也就是说我们如果暴力的考虑的话，就只需修改的时候向后一直跳。

但是这样很劣啊，我们可以考虑用分块处理这个问题，我们可以考虑倒序处理，当后面的点处理过后，你就可以把前面的点从后面转移。

于是我们只需要记录 $cnt[i]$ 次才能跳出第 $i$ 块，以及 $nxt[i]$ 弹出块后落到的第一个位置。

那么我们就可以分块直接处理这个玩意，当一个点被修改的时候，只会影响这个点所在的块，直接重新对这个块建一遍即可。

这个题最开始叫根号序列的，因为这个题的三个算法分别是分块，根号分治和根号重构。

$cnt(k)$ 显然是好求的，只需要解决 $\sum [f_i=k]a_i$ 即可。

注意到 $a_i$ 是区间加的，但 $f_i$ 是单点改的，所以可以得到一个 $O(n\sqrt{n})$ 的分块做法。

维护 $s_{i,j},b_{i,j}$ 表示第 $i$ 块中数字 $j$ 的 $a_x$ 之和/个数，对于区间加，散块暴力修改 $a_i$，整块维护每个块的懒标记值 $t_i$，复杂度 $O(\sqrt{n})$。

对于区间询问 $k$，则第 $x$ 块对答案的贡献是 $s_{x,k}+b_{x,k}\times t_x$。复杂度 $O(\sqrt{n})$。

单点修改 $f$ 只需要暴力更改即可，复杂度 $O(1)$，这个过程只要维护好 $b,s$ 两个数组就行。

不难发现这个做法的空间复杂度为 $O(n\sqrt{n})$，但空间限制是 32 MB。考虑优化。

不难发现瓶颈在于 $b,s$，我们对每种数字都记录了 $\sqrt{n}$ 个信息，实际上，这种方法只适用于元素 $f_i$ 出现次数很多的情况，但若一种元素 $f_i$ 出现次数很少，直接暴力遍历也可以解决，考虑阈值分治。

先不考虑修改了 $f_i$ 的情况。若 $cnt(x)\ge \sqrt{n}$，则我们维护元素 $x$ 在 $\sqrt{n}$ 块的信息，反之用 vector 或链表维护元素 $x$ 在序列中的位置。

前者元素种类数不超过 $\sqrt{n}$，所以空间是 $O(n)$，后者显然是 $O(n)$。时间上，传统的分块做法单次查询 $O(\sqrt{n})$，而后者元素的出现次数不超过 $\sqrt{n}$，时间也是 $O(\sqrt{n})$。

考虑加入修改 $f_i$ 的操作，不难发现可能存在元素从 $cnt(x)$ 从 $\ge \sqrt{n}$ 变成 $< \sqrt{n}$。考虑定期重构，对操作分块，每 $\sqrt{n}$ 次操作就重新根号分治做初始化。

对于修改了 $f_i$ 的位置 $i$，在下一次重构前，我们不用分块也不用 vector 维护，而是把他们专门放到一个 vector 里，统计他们对每个询问的贡献，因为定期重构，这个 vector 内元素个数不超过 $\sqrt{n}$。

这一部分要注意把修改了 $f_i$ 的位置 $i$ 从原数据结构中删除，分块的直接删掉贡献，vector 可以用懒惰删除，最后总复杂度就是 $O(n\sqrt n)$。

先考虑 $O(nq)$ 做法。枚举每个点为根去 DFS 做 dp。

不难发现两个相邻的点不能操作二，所以状态要设 $f_{i,2}$ 表示点 $i$ 操作二，把子树的边覆盖完的最小操作。

若一个点不进行操作二，则他到子节点需要用操作一来覆盖，而一个操作一可能端点在两个儿子。考虑先把这个操作一的链拆开，然后从儿子向上合并时去匹配。设 $f_{i,1},f_{i,0}$ 表示点 $i$ 进行操作二，覆盖后子树内留下一个到儿子的操作一半条链没有匹配或全部匹配完。

然后考虑 dp 转移，分类讨论即可：

$$f'_{x,0}\gets \min(f_{x,0}+f_{y,2},f_{x,1}+f_{y,0},f_{x,1}+f_{y,1}-1)$$

$$f'_{x,1}\gets \min(f_{x,1}+f_{y,2},f_{x,0}+f_{y,1},f_{x,0}+f_{y,0}+1)$$

$$f'_{x,2}\gets f_{x,2}+\min(f_{y,0},f_{y,1})$$

然后直接转移就可以，复杂度为 $O(nq)$。

考虑换根出答案？但是这个贡献形式比较难拆开，考虑用矩阵描述 dp 的转移，这样做前缀后缀的转移就转化为求矩阵前缀后缀积了，本来矩阵乘法需要严格控制顺序，但这个东西先合并那个子节点无所谓，所以瞎做就行。

复杂度为 $O(nV^3)$，其中 $V=3$。