$n\leq 2$ 的情况可以特判。

可以发现，任意时刻，如果 The BOT 在位置 $x$，那么可以移动到相邻位置之一，无论 The NIT 怎么操作，The BOT 至少可以得到相邻位置的次小值并结束。

另外，当 $n\geq 3$ 时，可以先走到一个 $1<x<n$ 的位置，此时一定可以有三个选项。所以至少可以获得全局的第三小值。

于是一个答案的下界就是 $\max($相邻位置次小值，全局第三小值$)$，容易发现这也是一个上界，如果答案更大，那么将小于答案的看成 $0$，大于等于的看成 $1$，那么全局有 $\geq 3$ 个 $0$，且初始与位置相邻的位置至多有一个 $1$，The NIT 始终可以把一个 $0$ 交换过来，使得 The BOT 周围的三个数都是 $0$。