在与牢大战斗两个多月后，“引爆逆天力量，追寻圆环之理的神藏奥秘”系列堂堂打赢复活赛。看来扣1真的有用！

直接做明显没前途，考虑容斥。

注意到位置 $i$ 不合法当且仅当 $a_i<a_{i-1}$ 且 $a_i|a_{i-1}$，即 $a_i$ 为 $a_{i-1}$ 的非自身因数。

考虑有一些非法位置，其他位置随便放，然后钦定非法位置的数为上一位的非自身因数。

然而注意到非法位置的方案数是不好算的，因为可能出现多个非法位置连着的情况，此时各个非法位置是不独立的。

幸运的是，由于 $a_i\le a_{i-1}/2$，每个非法位置连续段的长度不会超过 $\log m$，那我们就可以直接枚举连续段的长度进行DP。

记 $f_i$ 表示 $i$ 作为连续段结尾的容斥贡献，$s_i$ 表示前 $i$ 位的容斥贡献和，那么有

$$f_i=\sum_{j=1}^{\log m} g_j s_{i-j-1} (-1)^j$$

$$s_i=f_i+ s_{i-1}m$$

其中 $g_i$ 表示连续 $i$ 个非法位置，且前一个合法位置随便放的方案数，容易 $O(m\log m)$ 预处理。

显然DP可以矩阵优化，于是做到了 $O(\log^3 m \log n)$ 的复杂度。可能爆标了？

Bonus: 注意到DP是一个线性递推，使用 BM 算法可以做到 $O(\log m \log n \log\log m)$。

显然有一个 $\mathcal O(m\log m)$ 的 LCT 做法：将边按照 $a$ 升序排序，依次加入，动态维护最小生成树，这是 LCT 的经典应用。

那我不会 LCT，又该怎么通过这个题呢？

令人疑惑的是，榜上有大量的神秘复杂度 SPFA 做法，还有评论区中的二分套二分。这显然是错的，事实上不会 LCT 也有对应的常规手段处理。

秉持着 "直接做就好了" 的信念来处理，考虑二分答案转化为判定问题，设二分值为 $mid$。我们要求 $a_{\max} + b_{\max} \le mid$，不好利用判定的优势，于是转化一下，令 $c = mid - b$，那么就是 $a_{\max}\le c_{\min}$。

这个限制可以改写成 $\forall (a, c), a\le c_{\min}\le c$。此时就比较明晰了，使用线段树分治 + 可撤销并查集维护每个 $c_{\min}$ 对应的边，判断是否能形成一棵生成树，如果可行便 check 成功，如果不存在这样的 $c$ 则 check 失败。

时间复杂度 $\mathcal O(m\log^2 m\log n)$。代码也比较好写。

冷静下来想想，这个做法其实是有一些道理的（接下来是自己的碎碎念，并不一定很有意义）。

由 [SDOI2008] 洞穴勘测 我们知道，对于简单的，只含边的加入 / 撤销，判断联通状态，可离线的 LCT 问题，我们可以采用线段树分治 + 可撤销并查集来维护。结合 LCT 维护最小生成树的背景，猜想可以通过一些转化，让条件变成形如 "一条边有少数个存在的范围，判断是否能形成一棵生成树" 这样的问题。

一开始的一些推断告诉我们，直接做不存在好的数学性质，并且只能 LCT 维护，进而想到尝试二分答案转化为相对容易的判定。通过常见手段对限制进行改写，从而使得判定条件中的常数 $mid$ 带来更多作用。结合前面的感觉，得到正确的解法。

COGS 的 G++9.30 评测机还没有好。。。代码就放在 这里 了。由于卡常，代码并不是很可读。

考虑 $k = 1$ 的情况，不妨设 $a$ 降序，此时显然是呈 $\dots, a_4, a_2, a_1, a_3, a_5, \dots$ 状。

然后考虑 $k > 1$，根据数论结论我们知道环长是 $n / \gcd(n, k)$，对于一种环长 $d$，和初始 $k = 1$ 的状态有 $\mathcal O(n / d)$ 处修改，于是记忆化处理，时间复杂度根据调和级数为 $\mathcal O(n\ln n)$。

本题求的是图中的环的平均值的最大值，可以发现这其实就是一个01分数规划，数据处理稍微有点麻烦

用map实现车次字符串与整数序号的对应，以每条线路的起始车次为边的起点，终止车次为终点，线路上的所有车次的速度和为权值建图，每次二分答案mid，在新图（即原图的每条边的权值都减去mid）中用spfa找正环。如果存在正环，l=mid；如果不存在，r=mid

最后一组数据会被卡，需要玄学优化，如果spfa中循环次数超过100000，直接返回存在正环的结果（当所有点的入队次数超过2n时，我们就认为图中有很大可能是存在负环/正环的）

分享一个贪心做法

把每个点所被控制对象的个数称为入度，则入度为0的点必不能加入集合，那么他们所控制的点加入集合就是最优方案。如x的入度为0且控制y，则y优先加入集合，y所控制的点z的入度减一。当z的入度减少为0，那么z所控制的点f同样加入集合，再查询f所控制的点入度减一.....以此类推，所有点的优先加入方案就可以推出来（除了环）

环就更简单了，既然互相控制那么直接取一半的点就可以了

这道题如果你的思维很局限，可以使用queue，先创建一个队列，正常输入，在queue中进行运算，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int a,n,cnt;//cnt代表位置
int main(){
    freopen("ysf.in","r",stdin);
    freopen("ysf.out","w",stdout);
    cin>>a>>n;
    for(int i=1;i<=a;i++)
        q.push(i);//q.push()输入
    while(!q.empty()){//如果为空退出循环
        cnt++;
        if(cnt==n){//如果到了出圈的人
            cout<<q.front()<<" ";//q.front()出圈
            q.pop();//删除出圈的人，q.pop()删除
            cnt=0;//重新计数
        }
         else { //如果这人不用出圈，重新刷新一下
             int x = q.front();
             q.pop();
             q.push(x);
         }
    }
    return 0;
}