题意

题意：求∑i=1n∑j=1m[i=j](nmodi)⋅(mmodj)。

数据范围：1⩽n,m⩽109。

分析

这是一道简单的推式子题，但是实现比较恶心。

首先不妨设n⩽m（如果n>m交换一下就好了）

然后可以用容斥将题目拆成两个部分：

i=1∑nj=1∑m(nmodi)⋅(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

将两个求和拆开：

i=1∑n(nmodi)⋅j=1∑m(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

因为取模很难搞，所以可以用一个性质amodb=a−⌊ba⌋⋅b（取模的定义），将上式转换为：

i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅j=1∑m(m−⌊jm⌋⋅j)−i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅(m−⌊im⌋⋅i)

将括号拆开，可以得到：

(n2−i=1∑ni⋅⌊in⌋)⋅(m2−i=1∑mi⋅⌊im⌋)−i=1∑n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)

此时我们的复杂度已经是O(n)了，然而这个复杂度仍然不足以通过本题。

要做这道题需要一个简单的技巧——整除分块。

我们很容易发现很多⌊in⌋的值是一样的，且所有的⌊in⌋为一个不下降子序列，呈块状分布

通过简单的计算可以得到，对于每个起点为i的块，它的值为⌊in⌋，终点为⌊⌊in⌋n⌋，然后我们就可以用O(n

)的算法计算∑i=1ni⋅⌊in⌋了：

主要步骤，对于每一个块[l,r]，它乘号前面前缀和差分得到，即(1+2+⋯+r)−(1+2+⋯+(l−1))，乘号后面的就是⌊ln⌋。

代码：

inline long long sum1(long long x){

return x*(x+1)%mod*inv2%mod;

}

l=1,sum=n*n%mod;

while(l<=n){

r=n/(n/l);

sum=(sum-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

同样，∑i=1mi⋅⌊im⌋的值也可以用相同的方法求得。

考虑求∑i=1n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)，发现用整除分块完成它需要使区间[l,r]中所有的i都满足⌊in⌋与⌊im⌋相同。

可以用类似的方法，将上面代码中的r=n/(n/l);改为r=min(n/(n/l),m/(m/l));，然后就可以直接求值了！

且慢，虽然前三项nm,mi⋅⌊in⌋,ni⋅⌊im⌋都很容易求得，但是i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋不是很容易求，因为(12+22+⋯+i2)不好处理。

这里有一个简单的结论：12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)，会在文后证明，现在先给出这一部分的代码：

inline long long sum2(long long x){

return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;

}

l=1,tmp3=0;

while(l<=n){

long long a,b,c;

r=min(n/(n/l),m/(m/l));

a=(r-l+1)*n%mod*m%mod;

b=(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*((n/l)*m%mod+(m/l)*n%mod)%mod;

c=(sum2(r)-sum2(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod*(m/l)%mod;

tmp3=(tmp3+a-b+c+mod)%mod;

l=r+1;

}

代码

记得开long long取模很恶心，如果错了多半是这种原因因为三个整数相乘会爆long long，因此除法用逆元实现（逆元提前求得）

#include<stdio.h>

const long long mod=19940417,inv2=9970209,inv6=3323403;

long long i,j,k,m,n,l,r,ans,tmp1,tmp2,tmp3;

inline long long min(long long a,long long b){

return a<b? a:b;

}

inline void swp(long long &a,long long &b){

a+=b,b=a-b,a-=b;

}

inline long long sum1(long long x){

return x*(x+1)%mod*inv2%mod;

}

inline long long sum2(long long x){

return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;

}

int main(){

scanf("%lld%lld",&n,&m);

if(n>m)

swp(n,m);

l=1,tmp1=n*n%mod;

while(l<=n){

r=n/(n/l);

tmp1=(tmp1-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

l=1,tmp2=m*m%mod;

while(l<=m){

r=m/(m/l);

tmp2=(tmp2-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(m/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

l=1,tmp3=0;

while(l<=n){

long long a,b,c;

r=min(n/(n/l),m/(m/l));

a=(r-l+1)*n%mod*m%mod;

b=(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*((n/l)*m%mod+(m/l)*n%mod)%mod;

c=(sum2(r)-sum2(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod*(m/l)%mod;

tmp3=(tmp3+a-b+c+mod)%mod;

l=r+1;

}

ans=(tmp1*tmp2%mod-tmp3+mod)%mod;

printf("%lld\n",ans);

return 0;

}

简单的证明

证明：

12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)

（这个式子可以用简单构造法与数学归纳法证明，由于大部分题解都是用的数学归纳法，且用数学归纳法读者自证不难，因此这里使用简单构造法）

由于有这样一个式子：i2=i2−i+i(i−1)⋅i+i，因此我们可以将这个拆开：

12+22+⋯+n2=i=1∑ni2=i=1∑n(i−1)⋅i+i=1∑ni

然后乘上31：

i=1∑ni2=31i=1∑n(i−1)⋅i⋅3+i=1∑ni

构造一下：

i=1∑ni2=31i=1∑n(i−1)⋅i⋅((i+1)−(i−2))=31i=1∑n(−(i−2)⋅(i−1)⋅i+(i−1)⋅i⋅(i+1))+i=1∑ni

把它们全部展开：

i=1∑ni2=31(−(−1)⋅0⋅1+0⋅1⋅2−0⋅1⋅2+1⋅2⋅3−1⋅2⋅3+⋯(n−1)⋅n⋅(n+1))+2n⋅(n+1)

发现括号里的很多项都可以抵消：

i=1∑ni2=3(n−1)⋅n⋅(n+1)+2n⋅(n+1)=6n⋅(n+1)⋅(2(n−1)+3)=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)

证毕。

来自洛谷

如有侵权立即删除

题意

题意：求∑i=1n∑j=1m[i=j](nmodi)⋅(mmodj)。

数据范围：1⩽n,m⩽109。

分析

这是一道简单的推式子题，但是实现比较恶心。

首先不妨设n⩽m（如果n>m交换一下就好了）

然后可以用容斥将题目拆成两个部分：

i=1∑nj=1∑m(nmodi)⋅(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

将两个求和拆开：

i=1∑n(nmodi)⋅j=1∑m(mmodj)−i=1∑n(nmodi)⋅(mmodi)

因为取模很难搞，所以可以用一个性质amodb=a−⌊ba⌋⋅b（取模的定义），将上式转换为：

i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅j=1∑m(m−⌊jm⌋⋅j)−i=1∑n(n−⌊in⌋⋅i)⋅(m−⌊im⌋⋅i)

将括号拆开，可以得到：

(n2−i=1∑ni⋅⌊in⌋)⋅(m2−i=1∑mi⋅⌊im⌋)−i=1∑n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)

此时我们的复杂度已经是O(n)了，然而这个复杂度仍然不足以通过本题。

要做这道题需要一个简单的技巧——整除分块。

我们很容易发现很多⌊in⌋的值是一样的，且所有的⌊in⌋为一个不下降子序列，呈块状分布

通过简单的计算可以得到，对于每个起点为i的块，它的值为⌊in⌋，终点为⌊⌊in⌋n⌋，然后我们就可以用O(n

)的算法计算∑i=1ni⋅⌊in⌋了：

主要步骤，对于每一个块[l,r]，它乘号前面前缀和差分得到，即(1+2+⋯+r)−(1+2+⋯+(l−1))，乘号后面的就是⌊ln⌋。

代码：

inline long long sum1(long long x){

return x*(x+1)%mod*inv2%mod;

}

l=1,sum=n*n%mod;

while(l<=n){

r=n/(n/l);

sum=(sum-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

同样，∑i=1mi⋅⌊im⌋的值也可以用相同的方法求得。

考虑求∑i=1n(nm−mi⋅⌊in⌋−ni⋅⌊im⌋+i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋)，发现用整除分块完成它需要使区间[l,r]中所有的i都满足⌊in⌋与⌊im⌋相同。

可以用类似的方法，将上面代码中的r=n/(n/l);改为r=min(n/(n/l),m/(m/l));，然后就可以直接求值了！

且慢，虽然前三项nm,mi⋅⌊in⌋,ni⋅⌊im⌋都很容易求得，但是i2⋅⌊in⌋⋅⌊im⌋不是很容易求，因为(12+22+⋯+i2)不好处理。

这里有一个简单的结论：12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)，会在文后证明，现在先给出这一部分的代码：

inline long long sum2(long long x){

return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;

}

l=1,tmp3=0;

while(l<=n){

long long a,b,c;

r=min(n/(n/l),m/(m/l));

a=(r-l+1)*n%mod*m%mod;

b=(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*((n/l)*m%mod+(m/l)*n%mod)%mod;

c=(sum2(r)-sum2(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod*(m/l)%mod;

tmp3=(tmp3+a-b+c+mod)%mod;

l=r+1;

}

代码

记得开long long取模很恶心，如果错了多半是这种原因因为三个整数相乘会爆long long，因此除法用逆元实现（逆元提前求得）

#include<stdio.h>

const long long mod=19940417,inv2=9970209,inv6=3323403;

long long i,j,k,m,n,l,r,ans,tmp1,tmp2,tmp3;

inline long long min(long long a,long long b){

return a<b? a:b;

}

inline void swp(long long &a,long long &b){

a+=b,b=a-b,a-=b;

}

inline long long sum1(long long x){

return x*(x+1)%mod*inv2%mod;

}

inline long long sum2(long long x){

return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*inv6%mod;

}

int main(){

scanf("%lld%lld",&n,&m);

if(n>m)

swp(n,m);

l=1,tmp1=n*n%mod;

while(l<=n){

r=n/(n/l);

tmp1=(tmp1-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

l=1,tmp2=m*m%mod;

while(l<=m){

r=m/(m/l);

tmp2=(tmp2-(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*(m/l)%mod+mod)%mod;

l=r+1;

}

l=1,tmp3=0;

while(l<=n){

long long a,b,c;

r=min(n/(n/l),m/(m/l));

a=(r-l+1)*n%mod*m%mod;

b=(sum1(r)-sum1(l-1)+mod)%mod*((n/l)*m%mod+(m/l)*n%mod)%mod;

c=(sum2(r)-sum2(l-1)+mod)%mod*(n/l)%mod*(m/l)%mod;

tmp3=(tmp3+a-b+c+mod)%mod;

l=r+1;

}

ans=(tmp1*tmp2%mod-tmp3+mod)%mod;

printf("%lld\n",ans);

return 0;

}

简单的证明

证明：

12+22+⋯+n2=6n(n+1)(2n+1)

（这个式子可以用简单构造法与数学归纳法证明，由于大部分题解都是用的数学归纳法，且用数学归纳法读者自证不难，因此这里使用简单构造法）

由于有这样一个式子：i2=i2−i+i(i−1)⋅i+i，因此我们可以将这个拆开：

12+22+⋯+n2=i=1∑ni2=i=1∑n(i−1)⋅i+i=1∑ni

然后乘上31：

i=1∑ni2=31i=1∑n(i−1)⋅i⋅3+i=1∑ni

构造一下：

i=1∑ni2=31i=1∑n(i−1)⋅i⋅((i+1)−(i−2))=31i=1∑n(−(i−2)⋅(i−1)⋅i+(i−1)⋅i⋅(i+1))+i=1∑ni

把它们全部展开：

i=1∑ni2=31(−(−1)⋅0⋅1+0⋅1⋅2−0⋅1⋅2+1⋅2⋅3−1⋅2⋅3+⋯(n−1)⋅n⋅(n+1))+2n⋅(n+1)

发现括号里的很多项都可以抵消：

i=1∑ni2=3(n−1)⋅n⋅(n+1)+2n⋅(n+1)=6n⋅(n+1)⋅(2(n−1)+3)=6n⋅(n+1)⋅(2n+1)

证毕。

不妨设 \( n \leq m \)。 那原式：

$= \sum_{i = 1} ^ n (n \bmod i) \times \sum_{j = 1} ^ m (m \bmod j) - \sum_{i = 1} ^ n (n \bmod i) \times (m \bmod i)$

$= \sum_{i = 1} ^ n \left( n - \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \times i \right) \times \sum_{j = 1} ^ m \left( m - \left\lfloor \frac{m}{j} \right\rfloor \times j \right) - \sum_{i = 1} ^ n \left( n - \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \times i \right) \left( m - \left\lfloor \frac{m}{i} \right\rfloor \times i \right)$

$= \sum_{i = 1} ^ n \left( n - \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \times i \right) \times \sum_{j = 1} ^ m \left( m - \left\lfloor \frac{m}{j} \right\rfloor \times j \right) - \sum_{i = 1} ^ n \left( nm - n \times i \times \left\lfloor \frac{m}{i} \right\rfloor - m \times i \times \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor + i ^ 2 \times \left\lfloor \frac{n}{i} \right\rfloor \times \left\lfloor \frac{m}{i} \right\rfloor \right)$

显然对这 3 坨数论分块就可以了

 https://www.luogu.me/article/v919l2og