“引爆逆天力量，追寻圆环之理的神藏奥秘”系列再现高手。

首先最终的树的点数可以达到 $10^{10}$ 级别，我们肯定不能真正把树建出来。

但是注意到我们可以只保留每个复制出的子树的根（记作关键点），那么这些根也构成一棵树，这样就好办了。

当询问 $dis(x,y)$ 时，我们先找到 $x$ 和 $y$ 分别从属于的关键点，并求出它们在关键点树上的距离，而这是容易预处理的。需要注意的是，在 lca 处涉及同一关键点范围内的距离，在原树上查其距离即可。

以及，在定位点时，涉及查询原树某棵子树内编号第 $k$ 大的点，把树拍成 dfn 序后主席树上二分即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$，有点难写。

给一个线性做法。

我们依次计算每个字符的最小值，采用双指针维护。

具体的，记当前字符为 $c$，维护两个指针 $l,r$，表示第 $l$ 个 $c$ 到第 $r$ 个 $c$ 能否全部并到一起。若可以就 $r$ 右移，否则 $l$ 右移。

问题转化为将区间 $[l,r]$ 全部并到一起的最小代价。注意到最优方案中一定有一个点不动，它两侧的点向它靠拢，我们再维护一个指针 $mid$ 表示这个点，那么当前代价为

$$\sum_{i=l}^{mid-1}{[(p_{mid}-mid+i)-p_i]}+\sum_{i=mid+1}^r{[p_i-(p_{mid}+i-mid)]}$$

$$=\sum_{i=l}^{mid-1}{(p_i-i)}-\sum_{i=mid+1}^{r}{(p_i-i)}-(r-mid)(p_{mid}-mid)+(mid-l)(p_{mid}-mid)$$

其中 $p_i$ 表示第 $i$ 个 $c$ 的下标。注意到我们预处理 $p_i-i$ 的前缀和即可 $O(1)$ 算出这个式子。

注意到这个式子关于 $mid$ 是下凸的，当 $l$ 和 $r$ 右移时，最优的 $mid$ 也是单调右移的，我们在双指针的同时维护 $mid$ 即可。

由于三个指针都单调右移，时间复杂度为 $O(L)$。

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乍一看这式子感觉纯纯逆天，这种带位运算的复杂式子肯定考虑拆位。记 $w_{i,j,k}$ 为 $d_{i,j}\oplus a_{i,j}$ 的第 $k$ 位，$w_{e,k}$ 为 $d_u \oplus d_v$ 的第 $k$ 位，化一下式子

$$ans=\sum_i \sum_j \sum_k {w_{i,j,k}b_{i,j}} + \sum_e \sum_k {w_{e,k}c_e} = \sum_k{2^k(\sum_i \sum_j {w_{i,j,k}b_{i,j}} + \sum_e {w_{e,k}c_e})}$$

此时也能看出 $d$ 的每一位是相互独立的，于是我们分开算，考虑每一位的最小值。

显然可以状压 dp，记 $f_{i,S}$ 表示第 $i$ 列填的状态为 $S$，前 $i$ 列的最小值。

转移直接枚举上一列填了什么即可，再加上三个代价：第 $i$ 列的点，第 $i$ 列的边，第 $i$ 列和第 $i-1$ 列之间的边。

时间复杂度 $O(m4^n\log V)$，理论上界大概是 $2e8$，然而最慢的点也不到 $800ms$，很神奇吧常数。

“引爆逆天力量，追寻圆环之理的神藏奥秘”第二作！

考虑将期望得分拆到每对点对上，也就等于选中每对点对的概率之和。而选中某对点对的概率显然都是相同的，于是直接用点分治统计好的点对的数量，再乘以概率即可。

概率是多少？记当前这个人要选 $c$ 个点，相当于 $n$ 个位置中有 $c$ 个特殊的，而两个点都放在特殊位置的概率，即 $p=\frac{c(c-1)}{n(n-1)}$。

时间复杂度 $O(n\log n)$。注意分母别爆 int 了。

开个新坑，系列名叫“引爆逆天力量，追寻圆环之理的神藏奥秘”（来源：ChatGPT3.5)。

对于树上所有两点距离的问题，考虑点分治。记当前分治中心为 $C$，对于在分治范围内的点 $u$，考虑计算所有经过 $C$ 的路径对 $u$ 的贡献。记 $f_i$ 表示与 $C$ 距离为 $i$ 的点的个数，若 $u$ 与 $C$ 的距离为 $d$，那么对 $u$ 的贡献为

$$\Delta_u=\sum_{i=0}^{D}{f_i w_{i+d}}$$

其中 $D$ 为分治范围到 $C$ 的最大距离。注意到这是一个差卷积的形式，处理方式是将 $f$ 倒置，即 $f'_i=f_{D-i}$，那么有

$$\Delta_u=\sum_{i=0}^{D}{f'_{D-i} w_{i+d}}=[x^{D+d}](\sum_{i}{f'_i x^i})(\sum_{i}{w_i x^i})$$

使用 NTT 计算卷积即可。然后再类似的减去 $u$ 所属子树对它的贡献。

注意到卷积只用计算前 $2D$ 位，这样就可以保证复杂度为 $O(n\log^2 n)$。以及答案最大 $1e9$，NTT 质数可以取 $1004535809$，原根为 $3$。

用事实证明“超级无敌神仙炫酷无敌原神大王”豪华套餐不只有推式子和大ds！

第一问是简单的，记 $f_i$ 为以 $i$ 结尾的最多旧房子数，有

$$f_i=\max_{j\lt i,a_j \le a_i}{f_j+1}$$

其中 $a_i=A_i-i$，容易用线段树维护。

考虑第二问，记 $g_i$ 为以 $i$ 结尾的最小花费，显然两个旧房子中间应该从前者开始递增建，同时要保证第一问最大，有

$$g_i=\min_{j\lt i,a_j\le a_i,f_j+1=f_i}\{g_j+\frac{(2a_j+i+j)*(i-j-1)}{2}+b_i\}$$

其中 $b_i=A_i+B_i$。暴力转移可以拿 $40pts$。

注意到可以斜率优化，化一下式子，

$$j^2+(2a_j+1)j-2g_j=2(i-1)a_j+i(i-1)+b_i-2g_i$$

横坐标 $a_j$，纵坐标 $j^2+(2a_j+1)j-2g_j$，斜率 $2(i-1)$，维护上凸包。

然而转移条件有三个，$f_j+1=f_i$ 直接分层转移解决，剩下的是一个类似二位偏序的限制，考虑 cdq分治。

具体的，记当前转移 $f_i=d$ 的位置，当前分治区间为 $[l,r]$。考虑 $[l,mid]$ 中 $f_j=d-1$ 的位置对 $[mid+1,r]$ 中 $f_i=d$ 的位置的贡献，显然所有 $j\lt i$ 都满足，而对于 $a_j\le a_i$ 的限制，将两部分按 $a$ 升序排序后，使用双指针维护凸包即可。

时间复杂度 $O(n\log^2 n)$。记得对区间内没有有效位置的情况剪枝。